LÓGICA MATEMÁTICA
QUE PRETENDE LA LÓGICA MATEMÁTICA.
La lógica matemática es el intento de dar una “forma universal” al pensamiento, expresándolo por un sistema unívoco de signos (estos quiere decir, un sistema en el que cada signo tenga un solo significado en un mismo contexto), con un sistema de relaciones entre esos signos comparable al cálculo matemático, para alcanzar así todas las verdades.
La lógica matemática pretende hacer que todas las relaciones reales se vuelvan formales; pretende reducirlas a una “expresión matemática” que pueda ser calculada como en las matemáticas.
Por esa razón es que se le llama también “álgebra de la lógica”.
OBJETO DE LA LÓGICA MATEMÁTICA.
Al estudiar la lógica clásica, hemos constatado el hecho de que la relación fundamental que se estudia es la del verbo ser.
Eso es así porque la lógica clásica es una lógica que parte del “análisis de las proposiciones en sus términos” componentes: considerar sólo una relación o reducir las demás relaciones a una sola simplifica el asunto y posibilita la construcción formal de la lógica clásica.
La lógica matemática considera las proposiciones como formando una unidad de significado, como una proposición ya constituida, por eso es que la lógica matemática ha sido llamada también “lógica de proposiciones no analizadas”.
Esto significa que el interés de la lógica matemática recae en la proposición integralmente considerada, lo cual no es obstáculo para efectuar en algún nivel ciertos análisis de las proposiciones.
MÉTODO DE LA LÓGICA MATEMÁTICA.
Considera la lógica matemática como punto de partida las relaciones de “inclusión” (producto lógico) y de “exclusión” (suma lógica).
A partir de esas relaciones se puede establecer un sistema de simbolización como el del álgebra en el cual pueda expresarse toda proposición del lenguaje y de la ciencia.
Por ese medio pretenden analizar a un nivel metalógico (más que lógico) todo tipo de razonamiento desde la forma cuantitativa de ese mismo razonamiento.
PROPOSICIONES Y FUNCIONES.
En el caso de la lógica matemática de proposiciones no analizadas, los elementos del razonamiento lógico son de dos clases:
a) Variables de proposición, que representan el contenido fáctico del lenguaje.
b) Funciones de proposición, que representan las operaciones lógico-matemáticas que pueden realizarse entre las variables de proposición.
VALOR DE VERDAD.
Una proposición simple puede ser verdadera o falsa, pero no verdadera y falsa a la vez.
Las proposiciones complejas que están compuestas de dos o más proposiciones simples, pueden tener diversas posibilidades de verdad.
Si es “n” el número de proposiciones simples que integran la proposición compleja, el número de posibilidades de verdad de la proposición compleja vendrá indicado por 2n.
Cada una de las proposiciones simples puede simbolizarse por una letra minúscula de la “p” en adelante, así: p, q, r, s, ..., p’, q’, ..., p’’, q’’,
TABLA DE VERDAD.
Si ordenamos las posibilidades de verdad de una proposición, nos encontramos son su tabla de verdad.
La tabla de verdad nos refleja gráficamente las condiciones de verdad de una proposición.
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La conjunción
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición:
Establece que la conjunción es verdadera sólo si las dos proposiciones componentes son verdaderas. Cuando una de ellas no cumple la proposición resultante es falsa.
La tabla de la verdad de la conjunción se presenta:
Para que la proposición molecular unida por la conjunción sea verdadera, las proposiciones atómicas que la conforman ambas tienen que ser verdaderas simultáneamente.
Ejemplos:
- Sea la proposición molecular: "8 es múltiplo de 2 y 9 es un número impar"
p = "8 es múltiplo de 2" (verdadera) , q = "9 es un número impar" (verdadera)
por ser ambas verdadera la conjunción entre ellas es verdadera.
- Sea la proposición molecular: "La fresa es una fruta y 3 es un número par"
La Condicional
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina condicional de estas proposiciones
Donde p es la proposición antecedente, q la proposición llamada consecuente del condicional. Solamente la resultante de la unión condicional será falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso si no es el caso siempre la resultante será verdadera.
Tabla de la verdad condicional
El condicional que une a dos proposiciones es falso, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
Ejemplos:
- Sea la proposición molecular: "Si entreno, entonces me inscribo en la competencia"
- p = "entreno"
- q = "me inscribo en la competencia"
Nos interesa saber la verdad o falsedad de la proposición condicional, en relación a la verdad o falsedad de la proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso.
Es evidente que si p es falso, es decir no entreno, quedo liberado de compromiso y me inscriba o no en la competencia, el condicional es verdadero.
Si p es verdadera, es decir entreno, y no me inscribo en la competencia, el compromiso no se cumple y la proposición condicionada resulta falsa.
Si p y q son verdaderas, entonces la proposición es verdadera pues el compromiso se cumple.
La Negación
La conectiva "no" o negación.
Es la única conectiva singular que estudiaremos; Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra que es su negación.
Presentamos a continuación algunos signos utilizados para negar una proposición.
De una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por -p(se lee no p) que se le asigna un valor contrario.
p: Luis habla Ingles.
-p: Luis no habla Ingles
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad.
A partir de una proposición se obtiene la otra.
Ejemplo: la negación de p : "Todos los peces viven en el océano"
-p : "No es cierto que todos los peces viven en el océano"
o bien
-p : "No todos los peces viven en el océano"
o bien
Disyunción
Existen dos tipos de disyunción:
Disyunción Inclusiva
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción inclusiva de estas proposiciones a la proposición:
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción inclusiva de estas proposiciones a la proposición:
Establece que la disyunción inclusiva es verdadera si al menos una de las dos proposiciones de las componentes es verdadera. Cuando todas ellas son falsa, la proposición resultante es falsa
La tabla de la verdad de la disyunción inclusiva se presenta:
Es verdadera si al menos una de las variables atómicas es verdadera. Se puede decir que solamente cuando las variables atómicas son falsas es que la proposición resultante da falsa.
Ejemplos:
- Sea la proposición molecular: "El cielo es azul o 12 es un número par"
p = "El cielo es azul" (verdadera) , q = "12 es un número par" (verdadera)
por ser ambas verdadera la disyunción inclusiva entre ellas es verdadera.
por ser ambas verdadera la disyunción inclusiva entre ellas es verdadera.
- Sea la proposición molecular: "El número 1 es el elemento neutro de la suma o 44 es un número par"
p = "El número 1 es el elemento neutro de la suma" (falsa) , q = "44 es un número par" (verdadera)
Por tanto, la disyunción inclusiva entre ellas es verdadera, ya que una de ellas es verdadera.
- Sea la proposición molecular: "La navidad se celebra en agosto o 13 es un número par"
Por tanto, la disyunción inclusiva entre ellas es falsa, ya que ambas no son simultáneamente falsa.
Disyunción exclusiva.
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción exclusiva de estas proposiciones a la proposición:
Establece que la disyunción exclusiva es verdadera si sólo una de las dos proposiciones de las componentes es verdadera. Cuando todas ellas son falsa,todas son verdaderas la proposición resultante es falsa.
es falsa.
Es verdadera si sólo una de las variables atómicas es verdadera. Cuando las dos son falsas o las dos son verdaderas entonces la proposición resultante es falsa
Ejemplos:
- Sea la proposición molecular: "O uno es el elemento neutro de la multiplicación o 12 es un número par"
p = "uno es el elemento neutro de la multiplicación " (verdadera) , q = "12 es un número par" (verdadera)
Por ser ambas verdadera la disyunción exclusiva entre ellas es falsa.
- Sea la proposición molecular: "O la navidad se celebra en diciembre o13 es un número par"
p = "La navidad se celebra en diciembre" (verdadera) , q = "13 es un número par" (falsa)
Por tanto, la disyunción exclusiva entre ellas es verdadera, ya que ambas no son simultáneamente verdaderas.
- Sea la proposición molecular: "O los carnavales se celebran en agosto o15 es un número par"
Por tanto, la disyunción exclusiva entre ellas es falsa, ya que ambas son falsas.
El bicondicional
Es la doble implicación.
Tabla de la bicondicional
La proposición bicondicional es verdaderas si ambas proposiciones atómicas que las componen son verdaderas o ambas son falsa a la vez.
La bicondicional puede definirse como la conjunción de una implicación y su reciproca
.
Ejemplo:
- Sea la proposición molecular: " Dos vectores son perpendiculares si y sólo si el producto escalar entre los vectores da cero"
p = "Dos vectores son perpendiculares"
q = "el producto escalar entre los vectores da cero"
Quiere decir que "Si los vectores son perpendiculares, entonces el producto escalar entre los vectores da cero" y "Si el producto escalar de dos vectores da cero, entonces son vectores perpendiculare "
Por tanto: o ambas se cumplen o no se cumple para que sea verdadera.
creado por: Ahmed C. Aizpurúa C.
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